Hasta el infinito y más allá.

A la R.A.E me remito:

Infinito,ta. (Del lat. infinitus)
1.adj. Que no tiene ni puede tener fin ni término.
(...)
5.mat. Valor mayor que cualquier cantidad asignable.


Hasta aquí todo bien, ¿no? El infinito es aquello que no tiene un final, algo que suena inmensamente grande, un todo, ese 8 tumbado. Pero, ¿Y si hay más de un infinito? Y si hubiera varios...¿habría unos infinitos más grandes que otros?

Esta pregunta fue contestada por el matemático Georg Cantor, que junto con otros, introdujo la teoría de conjuntos. Fue uno de los primeros en determinar qué es el infinito, y en hablar también de distintos conjuntos numéricos infinitos.


Su forma de verlo fue la siguiente:


1. Partamos de la idea de que hay más conjuntos de cosas que cosas. Es decir, si yo tengo los elementos A y B, puedo hacer los conjuntos {A}, {B}, {A, B} y el conjunto vacío {Ø}. Resultado: con 2 elementos podemos hacer 4 conjuntos. Pero ¿pasa esto en cualquier caso? Para comprobarlo, pasemos al siguiente punto.

2. Ahora imaginemos un mundo con un número infinito de personas. En este mundo, si la gente hiciera clubs, habría un número infinito de ellos (pensad en los clubs como conjuntos). El club al que pertenecieran todas las personas sería el club universal. Y por tanto, habría otro club al que no perteneciera nadie, el club vacío. Entre medias de estos dos extremos estarían todos los clubs posibles.
La pregunta es: si hay infinitas personas e infinitos clubs, ¿qué infinito es más grande?

3. Pensemos que el infinito número de personas y el infinito número de clubes son dos infinitos del mismo tamaño. Para demostrar esto, tendríamos que emparejar a cada persona con un club, uno por uno. Una vez hecho esto, nos daríamos cuenta de que habría personas emparejadas con clubs a los que si pertenecen, y personas emparejadas con clubs a los que no.
(Esta es una parte difícil de asimilar, si no lo entendéis me comentáis y os lo intento decir mejor)

4. Pues bien, entonces debería haber un club para todas aquellas personas que estuvieran emparejadas con un club que no fuera el suyo. Este club fue denominado por Georg como "el club de Groucho".
Bien, si el club de Groucho forma parte de todos los clubs del mundo, alguien tiene que haber sido emparejado con él en el punto 3 (¿Hasta aquí vais bien?).
De nuevo otra pregunta: La persona que ha sido emparejada con el club de Groucho, ¿pertenece a él o no?

(El siguente punto parece un trabalenguas imposible de entender. Pero si leéis despacio y pensando lo que leéis, lo pillaréis enseguida)

5. Suponiendo que esa persona era socia del club de Groucho antes de que le emparejaran con él, una vez emparejado debería ser expulsado de tal club (porque sería miembro y estaría emparejado con un club que tiene como requisito haber sido emparejado con un club del que no eres miembro).

No obstante, si la persona no forma parte del club de Groucho, pasaría a estar emparejada con un club del que no es miembro, y por tanto debería formar parte del club de Groucho, volviendo a empezar con el punto 5.
Intentadlo de mil formas posibles; siempre llegarás a la misma contradicción. ¿Cómo hemos llegado a este punto? ¿Hemos hecho algo mal?

Sí, hemos hecho algo mal: suponer que el infinito número de clubes era igual de grande que el infinito número de personas. Pero de esta forma, algo simple, hemos demostrado que el infinito número de conjuntos es más grande que el infinito número de cosas con las que hacer conjuntos.

Así que, dicho simple y llanamente: "Hay varios infinitos, y unos son más grandes que otros"

Esta demostración matemática, le supuso a Georg Cantor varios quebraderos de cabeza; Por parte (como casi siemrpe) de los sectores más conservadores como la Iglesia, le llovieron críticas porque su idea del infinito era una "amenaza" directa a la idea de Dios.

De todas formas, esta y otras teorías de Cantor son las bases de las matemáticas modernas, pese a quien pese.

A mí la verdad es que las matemáticas, aunque me encanten, se me resisten un poco. Espero que os guste la entrada, y si no entendéis algo, insisto en que comentéis y planteéis las dudas que tengáis.


S3D F4L1C3S :)